Tugas Kelompok Riset Komputasional

BAB I

PENDAHUAN

A.     Latar belakang

Persamaan diferensial berperang penting di alam , sebab kebanyakan fenomena alam dirumuskan dalam bentuk diferensial. Persamaan diferensial sering digunakan sebagai model matematika dalam bidang sains maupun dalam bidang rekayasa. 

Persamaan differensial adalah pesamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa ) fungsi yang tidak diketahui. Suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variabel bebas saja dinamakan perasamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Equation-ODE). Sedangkan persamaan diferensial yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (partial Differential Equation-PDE). Pada pembahasan makalah kami akan membahas persamaan diferensial biasa (ODE) dengan metode Euler dan metode heun. Penyelesaian persamaan diferensial biasa (ODE) mempunyai bentuk umum yaitu:

                       

Penyelesaian PDB secara umerik berarti menghitung nilai fungsi di x_r+1  = x_r + h, dengan h  adalah ukuran langkah (step )setiap lelaran. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada metode numeric nilai awal (initial value ) pada ersamaan di atas berfungsi untuk memulai lelaran .

B.     Tujuan Makala

Tujuan dalam pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui cara menganalisis Metode Euler dan Heun, baik melalui teori maupun melalui pemrograman.

BAB II

PEMBAHASAN

A.     Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode euler atau disebut juga metode orde pertama   karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PDB orde satu,

                         = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x₀) = x₀

Misalkan

                        y_r = y(x_r)

adalah hampiran nilai di x_r yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini

                        x_r = x₀ + rh,                                  r = 1, 2, 3,…n

metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(x_r+1) d_{i se}kitar x_r ke dalam deret taylor :

y(x_r+1)=y(x_r)+ y’(x_r)+ y”(x_r)+…                        (1)             

bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh

y(x_r+1) = y(x_r) + y’(x_r) + y”(t),     x_r<t<x_r+1        (2)

berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu maka

                        y’(x_r ) = f(x_r, y_r)

dan

                        x_r+1 – x_r = h

maka persamaan 2 dapat ditulis  menjadi

                        y(x_r+1) y(x_r)+hf(x_r,y_r)+ y”(t)                   (3)                                               

dua suku pertama persamaan di atas yaitu :

                       

y(x_r+1) = y(x_r) + hf(x_r, y_r) ;       r = 0, 1, 2,…,n              (4)

atau dapat ditulis                     

y_r+1  = y_r + hf_r

            yang merupakan metode Euler.

A.1. Tafsiran geometri  Metode PDB

f(x,y) dalam persamaan diferensial menyatakan gradiaen garis siggng kurva di titik (x,y). kita mulai menarik garis singgung dari titik (x₀,y₀) dengan gradien f(x₀,y₀) dan berenti di titik (x₁,y₁), dengan y₁ di hitung dari persamaan 4. Selanjutnya di titik (x₁,y₁) ditarik lagi garis dengan gradien f(x₁,y₁) dan berhenti dititik (x₂,y₂)  dengan y₂ dihitung dari persamaan 4. Proses ini kita ulang beberapa kali, misalnya sampai lelaran ke-n, sehingga hasilnya adalah garis patah-patah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

 

pada gambar kedua gradien (m) garis singgung di x_r adalah

          

                       

            Yang tidak lain adalah persamaan Euler.

A.2  Analisis Galat Metode Euler

Meskipun metode Euler sederhana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotong (truncation error) dan galat longgokan (cumulative error). Galat pemotong dapat langsung ditentukan dari persamaan  berikut:

                                                                                                                                                                         

Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga di sebut juga galat per langkah (error per step) atau galat local. Semakin kecil nilai h (yang berarti semakin banyak langkah perhitungan). Nilai pada setiap langkah (y_r) dipakai lagi pada langkah berikutnya. Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini di sebit galat longgokan (cumulative error). Jika langkah dimulai dari x₀ = a dan berakhir di x_n = b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir (y_n) adalah

                                 

Galat longgokan total ini sebenarnya  adalah

           

 

 ALGORITMA UNTUK METODE EULER

Merghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y’ = f(t,y) dengan  y(t0) = y0 pada [t0, b] INPUT : n, t0, b, y0, dan fungsi f OUTPUT : (tk, yk),                r = 1, 2, 3, …, n LANGKAH-LANGKAH: 1.      Hitung h = (b – t0)/n 2.      FOR r = 1, 2, 3, …, n Hitung xr = xr-1 + h,   yr = yr-1 + h * f(xr-1, yr-1) 3. SELESAI

 Contoh:

Diketahui PDB

            Dy/dx = x + y dan y(0)=1

Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0, 10)dengan ukuran langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5.diketahui solusi sejati PDB tresebut adalah

 y(x) = e^x – x – 1.

Penyelesaian:

(i)     Diketahui

      a = x₀ = 0

      b = 0.10

      c = 0.05

dalam hal ini f(x,y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

     

Langkah-langkah:

     

     

     

Jadi,

      (bandingkan dengan solusi sejatinya,

     

Sehingga galatnya adalah

Galat = 0.0052 – 1.05775 =  -1.1030

(ii)               Diketahi

Dalam hal ini , , dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

Langkah-langkah:

Jadi

(bandingkan dengan solusi sejatinya, y(0,10) = 1.1103, sehingga galatnya adalah

      Galat  = 1.1103 – 1.1081 = 1.1081)

Program matlabnya yaitu:

clc;

clear;

x=0;

y=1;

b=0.10;

n=5;

h=(b-x)/n

hasil=[0 1];

for r=1:n

    y=y+h*(x+y);

    x=x+h;

    hasil=[hasil; x y];

end

f=exp(b)-b-1;

galat=f-y;

hasil

eror=[f galat]

  Autputnya yaitu:

h = 0.0200

hasil =

         0    1.0000

    0.0200    1.0200

    0.0400    1.0408

    0.0600    1.0624

    0.0800    1.0849

    0.1000    1.1082

eror = 0.0052   -1.1030

B.     Metode Heun (Perbaikan Metode Euler)

            Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler (modifified Euler’s method ). Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi  perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (Corrector).

            Metode Heun diturunkan sebagai berikut:

Pandang PDB orde Satu

           

Integrasikan kedua ruas persamaan dari x_r sampai x_r+1 :

           

                                        = y(x_r+1)-y(x_r)

                                        = y_r+1-y_r

Nyatakan y_r+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan:

            

         (p.7)

Suku yang mengandung integral di ruas kanan ,

           

dapat diselesaikan dengan kaidah trapezium menjadi

      

Sulihkan persamaan  (p.7) ke dalam persamaan (p.8) , menghasilkan persamaan

         

Yang nerupakan metode Heun , atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. Dalam persamaan (p.8) suku ruas kanan mengandung  y_r+1 ini adalah solusi perkiraan awal (prediktor) yang dihitung dengan metode Euler. Persamaan (p.9) dapat dituls sebagai :            

Atau ditulis dalam satu  kesatuan,

        

B.1 Tafsiran Geometri Metode Heun

      Pada selang x_r sampai x_r + ½ hkita menghampiri solusi y dengan garis singgung melalui titik (x_r , y_r) dengan gradien f(x_r , y_r) dan kemudian meneruskan garis singgung dengan gradien  f(x_r+1, y⁽⁰⁾ _r+1) sampai x mencapai x_r+1.

               

B.2 Galat metode Heun

      Dari persamaan (p.10) suku h/2 [f(x_r , y_r) + f(x_r+1, y⁽⁰⁾ _r+1)] bersesuaian trapesiun pada integrasi numeric. Dapat dibuktikan bahwa galat per langkah metode Heun sama dengan galat kaidah trapesiun, yaitu:

            Bukti:

      Misalkan ,

            Y_r+1 adalah nilai y sejati di x_r+1

                y_r+1 adalah nampiran nilai y di x_r+1

      Uraikan Y_r+1  di sekitar  x_r :

          

Dengan menyatakan

            maka

Dari persamaan (p.10)

           

           

    =

Sehingga persamaan (p.10) dapat ditulis menjadi:

            Galat per langkah  = nilai sejati – nilai hampiran

            

                                = 0(h³)

            Galat longgokannya adalah,

            Jadi galat longgokan metode Heun sebanding dengan h². Ini berarti solusi PDB metode heun lebih baik dari pada solusi dari metode Euler, namun jumlah komputasinya menjadi lebih banyak dibandingkan dengan metode Euler. Perbandingan metode Heun dengan metode Euler dapat dilihat pada gambar berikut:

            ssperbandingan metode Euler dengan metode Heun

            ALGORITMA METODE HEUN     

Menghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y’ = f(t,y) dengan  y(t0) = y0 pada [t0, b]. INPUT : t0, b, y0, h, dan fungsi f OUTPUT: (tr,yr),      r = 1, 2, …, n LANGKAH-LANGKAH: 1.      Hitung  n = (b – t0)/h 2.      FOR r = 1, 2, 3, …, n Hitung tr = tr-1 + h, Hitung S1 = f(tr-1, yr-1), Hitung S2 = f(tr, yr-1 + h * S1), Hitung yr  = yr-1 + (S1 +S2). SELESAI

            Contoh:

            Diketahui PDB

                        dy/dx = x + y    ; y(0) = 1

            hitung y(0.10) dengan metode Heun (h = 0.02)

            penyelesaian:

            dietahui:

                        f(x,y) = x + y

                        a = x₀ = 0

                        b = 0.10

                        h = 0.02

            maka   n = (0.10 - 0)/0.02 = 5 (jumlah langkah)

            langkah-langjah:

                        x₁ = 0,02  y⁽⁰⁾1 = y₀  + hf(x₀, y₀)

                                                 = 1 + 0.02(0+1)

                                                 = 1.0200

                                    Y⁽¹⁾1 = y₀ + (h/2)[f(x₀,y₀)+f(x₁,y⁽⁰⁾1)]

                                             = 1 + (0.02/2)(0+1+0.02+1.0200)

                                             = 1.0204

                        X₂ = 0.04 y⁽⁰⁾2 = y₁ + hf(x₁, y₁)

                                                = 1.0204 + 0.02(0.02 + 1.0204)

                                                = 1.0412

                                          Y⁽¹⁾2           = y₁ + (h/2)[f(x₁, y₁) + f(x₂, y⁽⁰⁾2)]

                                                = 1.0204 + (0.02/2)[0.02 + 1.0204 + 0.04 + 1.0412]

                                                =1.0416

                                    …                   

                        X₅ = 0.10 y⁽⁰⁾5          = y₄ + hf(x₄, y₄)

                                          Y⁽⁰⁾5           = y₄ + (h/2)[f(x₄, y₄) + f(x₅,y⁽⁰⁾5)]

                                                = 1.1104

                        Jadi, y(0.10)  1.1104

            Program matlabnya yaitu:

clc;

clear;

x=0;

y=1;

b=0.10;

n=5;

h=(b-x)/n

hasil=[0 1];

for r=1:n

   

    y=y+(h/2)*((x+y)+(x+(y+h*(x+y))));

    x=x+h;

    hasil=[hasil; x y];

end

f=exp(b)-b-1;

galat=f-y;

hasil

eror=[f galat]

               Outpunya yaitu:

            h =  0.0200

hasil =                        

    0    1.0000      

    0.0200    1.0202

    0.0400    1.0412

    0.0600    1.0631

    0.0800    1.0857

    0.1000    1.1093

eror = 0.0052   -1.1041

   

Metode runge kutta orde 2

Perumusan Metode euler untuk PD, dan bentuk soal akan seperti

 

Metode Runge kutta orde 4

Perumusan PD dalam RK orde 4 adalah

                                                        

                                                                          BAB III

PENUTUP

A.     KESIMPULAN

1.      Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana.Metode euler atau disebut juga metode orde pertama   karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PDB orde satu,

                         = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x₀) = x₀

Persamaan metode Ueler yaitu :

                         y_r = y_r-1 + h * f(x_r-1, y_r-1)

2.      Metode Heun (Perbaikan Metode Euler)

Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi  perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (Corrector).

Persamaan metode euler yaitu:

                 

B.     Saran

Adapun saran kami bagi pembaca makalah ini, kiranya setelah makalah ini selesai maka kami berharap akan ada diskusi selanjutnya terkait masalah-masalah yang belum jelas, sehingga dengan demikian proses pembuatan makalah selanjutnay bisa disempurnakan dan lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Agus Setiawan, ST, MT, 2006, pengantar Metode Numerik, yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta

Drs. Sahid, M.Sc.  2005, pengantar Komputasi Numerik  dengan Matlab, yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta

Rinaldi Munir. 2008, Metode Numerik,  Revisi kedua, Bandung : informatika Bandung

Desain Pemodelan Grafik

Pemodelan adalah membentuk suatu benda-benda atau obyek. Membuat dan mendesain obyek tersebut sehingga terlihat seperti hidup. Sesuai dengan obyek dan basisnya, proses ini secara keseluruhan dikerjakan di komputer. Melalui konsep dan proses desain, keseluruhan obyek bisa diperlihatkan secara 3 dimensi, sehingga banyak yang menyebut hasil ini sebagai pemodelan 3 dimensi (3D modelling).
Ada beberapa aspek yang harus dipertimbangkan bila membangun model obyek, kesemuanya memberi kontribusi pada kualitas hasil akhir.
Hal-hal tersebut meliputi metoda untuk mendapatkan atau membuat data yang mendeskripsikan obyek, tujuan dari model, tingkat kerumitan, perhitungan biaya, kesesuaian dan kenyamanan, serta kemudahan manipulasi model. Proses pemodelan 3D membutuhkan perancangan yang dibagi dengan beberapa tahapan untuk pembentukannya. Seperti obyek apa yang ingin dibentuk sebagai obyek dasar, metoda pemodelan obyek 3D, pencahayaan dan animasi gerakan obyek sesuai dengan urutan proses yang akan dilakukan.

a. Motion Capture/Model 2D

Yaitu langkah awal untuk menentukan bentuk model obyek yang akan dibangun dalam bentuk 3D. Penekanannya adalah obyek berupa gambar wajah yang sudah dibentuk intensitas warna tiap pixelnya dengan metode Image Adjustment Brightness/Contrast, Image Color Balance, Layer Multiply, dan tampilan Convert Mode RGB dan format JPEG. Dalam tahap ini digunakan aplikasi grafis seperti Adobe Photoshop atau sejenisnya. Dalam tahap ini proses penentuan obyek 2D memiliki pengertian bahwa obyek 2D yang akan dibentuk merupakan dasar pemodelan 3D.
Keseluruhan obyek 2D dapat dimasukkan dengan jumlah lebih dari satu, model yang akan dibentuk sesuai dengan kebutuhan. Tahap rekayasa hasil obyek 2D dapat dilakukan dengan aplikasi program grafis seperti Adobe Photoshop dan lain sebagainya, pada tahap pemodelan 3D, pemodelan yang dimaksud dilakukan secara manual. Dengan basis obyek 2D yang sudah ditentukan sebagai acuan. Pemodelan obyek 3D memiliki corak yang berbeda dalam pengolahannya, corak tersebut penekanannya terletak pada bentuk permukaan obyek.

b. Dasar Metode Modeling 3D

Ada beberapa metode yang digunakan untuk pemodelan 3D. Ada jenis metode pemodelan obyek yang disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision. Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan. Untuk mendapatkan permukaan yang halus, dibutuhkan banyak bidang polygon. Bila hanya menggunakan sedikit polygon, maka object yang didapat akan terbagi sejumlah pecahan polygon.
Sedangkan Modeling dengan NURBS (Non-Uniform Rational Bezier Spline) merupakan metode paling populer untuk membangun sebuah model organik. Kurva pada Nurbs dapat dibentuk dengan hanya tiga titik saja. Dibandingkan dengan kurva polygon yang membutuhkan banyak titik (verteks) metode ini lebih memudahkan untuk dikontrol. Satu titik CV (Control verteks) dapat mengendalikan satu area untuk proses tekstur.

c. Proses Rendering

Tahap-tahap di atas merupakan urutan yang standar dalam membentuk sebuah obyek untuk pemodelan, dalam hal ini texturing sebenarnya bisa dikerjakan overlap dengan modeling, tergantung dari tingkat kebutuhan. Rendering adalah proses akhir dari keseluruhan proses pemodelan ataupun animasi komputer. Dalam rendering, semua data-data yang sudah dimasukkan dalam proses modeling, animasi, texturing, pencahayaan dengan parameter tertentu akan diterjemahkan dalam sebuah bentuk output. Dalam standard PAL system, resolusi sebuah render adalah 720 x 576 pixels. Bagian rendering yang sering digunakan:

• Field Rendering. Field rendering sering digunakan untuk mengurangi strobing effect yang disebabkan gerakan cepat dari sebuah obyek dalam rendering video.
• Shader. Shader adalah sebuah tambahan yang digunakan dalam 3D software tertentu dalam proses special rendering. Biasanya shader diperlukan untuk memenuhi kebutuhan special effect tertentu seperti lighting effects, atmosphere, fog dan sebagainya.

d. Texturing

Proses texturing ini untuk menentukan karakterisik sebuah materi obyek dari segi tekstur. Untuk materi sebuah object bisa digunakan aplikasi properti tertentu seperti reflectivity, transparency, dan refraction. Texture kemudian bisa digunakan untuk meng-create berbagai variasi warna pattern, tingkat kehalusan/kekasaran sebuah lapisan object secara lebih detail.

e. Image dan Display

Merupakan hasil akhir dari keseluruhan proses dari pemodelan. Biasanya obyek pemodelan yang menjadi output adalah berupa gambar untuk kebutuhan koreksi pewarnaan, pencahayaan, atau visual effect yang dimasukkan pada tahap teksturing pemodelan. Output images memiliki Resolusi tinggi berkisar Full 1280/Screen berupa file dengan JPEG,TIFF, dan lain-lain. Dalam tahap display, menampilkan sebuah bacth Render, yaitu pemodelan yang dibangun, dilihat, dijalankan dengan tool animasi. Selanjutnya dianalisa apakah model yang dibangun sudah sesuai tujuan. Output dari Display ini adalah berupa *.Avi, dengan Resolusi maksimal Full 1280/Screen dan file *.JPEG.
Ada beberapa metode yang digunakan untuk pemodelan 3D. Metode pemodelan obyek disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision. Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan. Untuk mendapatkan permukaan yang halus, dibutuhkan banyak bidang polygon. Bila hanya digunakan sedikit polygon, maka object yang didapatkan akan terbagi menjadi pecahan-pecahan polygon.
Sedangkan Modeling dengan Nurbs (Non-Uniform Rational Bezier Spline) adalah metode paling populer untuk membangun sebuah model organik. Hal ini dikarenakan kurva pada Nurbs dapat dibentuk dengan hanya tiga titik saja. Dibandingkan dengan kurva polygon yang membutuhkan banyak titik (verteks) metode ini lebih memudahkan untuk dikontrol. Satu titik CV (Control verteks) dapat mengendalikan satu area untuk proses tekstur.
Desain permodelan grafik sangat berkaitan dengan grafik komputer. Berikut adalah kegiatan yang berkaitan dengan grafik komputer:

1. Pemodelan geometris : menciptakan model matematika dari objek-objek 2D dan 3D.
2. Rendering : memproduksi citra yang lebih solid dari model yang telah dibentuk.
3. Animasi : Menetapkan/menampilkan kembali tingkah laku/behaviour objek bergantung waktu.
4. Graphics Library/package (contoh : OpenGL) adalah perantara aplikasi dan display hardware(Graphics System).
5. Application program memetakan objek aplikasi ke tampilan/citra dengan memanggil graphics library.
6. Hasil dari interaksi user menghasilkan/modifikasi citra.
7. Citra merupakan hasil akhir dari sintesa, disain, manufaktur, visualisasi dll.

Pemodelan Geometris

Transformasi dari suatu konsep (atau suatu benda nyata) ke suatu model geometris yang bisa ditampilkan pada suatu komputer :

• Shape/bentuk
• Posisi
• Orientasi  (cara pandang)
• Surface Properties/Ciri-ciri Permukaan (warna, tekstur)
• Volumetric Properties/Ciri-ciri volumetric (ketebalan/pejal, penyebaran cahaya)
• Lights/cahaya (tingkat terang, jenis warna)
• Dan lain-lain …

Pemodelan Geometris yang lebih rumit :

• Jala-jala segi banyak: suatu koleksi yang besar dari segi bersudut banyak, dihubungkan satu sama lain.
• Bentuk permukaan bebas: menggunakan fungsi polynomial tingkat rendah.
• CSG: membangun suatu bentuk dengan menerapkan operasi boolean pada bentuk yang primitif.